Ableitungen - Beispiele
Ableitungen benötigt man u.a. zur Berechnung von Hoch- Tiefpunkten sowie Wendepunkten und Funktionssteigungen.
Eine Ableitung lässt sich wie folgt berechnen:
Gegeben sei die f(x) = x^n
Im ersten Schritt rutscht der Exponent (^n) vor die Basis --> n* x
Der neue Exponent ist um den Faktor 1 kleiner als der Exponent der Ursprungsfunktion --> n * x^n-1.
Ein Beispiel:
x^2 --> 2x
x^5 --> 5x^4
Ist in der Urfunktion die Basis teil eines Produkt, so multipliziert man dieses mit dem Exponenten.
Bsp. yx^5 -->(5*y)x^4
4x^5 -->20x^4
3x^2 --> 6x
Wenn die Funktion selbst ein Produkt darstellt wendet man die Produktregel an.
f(x)= g1(x) * g2(x)
f´(x) = g1´* g2 + g1 * g2´
Wenn die Funktion ein Bruch ist gilt die Quotientenregel
f(x) = g1(x) / g2(x)
f´(x)= g1´* g2-g1 * g2´/g2^2
Sollte es sich um eine Summe handeln so gilt die Summenregel
f(x)= g1 + g2
f´(x) = g1´+ g2´
Besondere Ableitungen:
f(x)= sin(x) --> f´(x)= cos (x)
f(x)= cos(x) --> f´(x) = - sin (x)
f(x)= e^x --> f´(x) = e^x
--> Die Exponentialfunktion ergibt abgeleitet immer wieder die Urfunktion, dies hängt damit zusammen das die e-Funtkion an der entsprechenden Stelle ihre eigene Steigung angibt
Zusammenfassung der wichtigsten Ableitungen
| f(x) | f´(x) |
| a | 0 |
| x^n n Element aus R (ausser 0) | n * x^n-1 |
| x^1/2 (Wurzel aus x) | -1/x^2 |
| ln(x) | 1 / x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1 / cos²*x |
|
e^x |
e^x |
