Ableitungen - Beispiele

 

Ableitungen benötigt man u.a. zur Berechnung von Hoch- Tiefpunkten sowie Wendepunkten und Funktionssteigungen.


Eine Ableitung lässt sich wie folgt berechnen:

Gegeben sei die f(x) = x^n

Im ersten Schritt rutscht der Exponent (^n) vor die Basis --> n* x

Der neue Exponent ist um den Faktor 1 kleiner als der Exponent der Ursprungsfunktion --> n * x^n-1.

Ein Beispiel:

x^2 --> 2x

x^5 --> 5x^4


Ist in der Urfunktion die Basis teil eines Produkt, so multipliziert man dieses mit dem Exponenten.

Bsp. yx^5 -->(5*y)x^4

4x^5 -->20x^4

3x^2 --> 6x


Wenn die Funktion selbst ein Produkt darstellt wendet man die Produktregel an.

f(x)= g1(x) * g2(x)

f´(x) = g1´* g2 + g1 * g2´


Wenn die Funktion ein Bruch ist gilt die Quotientenregel

f(x) = g1(x) / g2(x)

f´(x)= g1´* g2-g1 * g2´/g2^2


Sollte es sich um eine Summe handeln so gilt die Summenregel

f(x)= g1 + g2

f´(x) = g1´+ g2´


Besondere Ableitungen:

f(x)= sin(x) --> f´(x)= cos (x)

f(x)= cos(x) --> f´(x) = - sin (x)

f(x)= e^x --> f´(x) = e^x

--> Die Exponentialfunktion ergibt abgeleitet immer wieder die Urfunktion, dies hängt damit zusammen das die e-Funtkion an der entsprechenden Stelle ihre eigene Steigung angibt


Zusammenfassung der wichtigsten Ableitungen

f(x) f´(x)
a 0
x^n n Element aus R (ausser 0) n * x^n-1
x^1/2 (Wurzel aus x) -1/x^2
ln(x) 1 / x
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) 1 / cos²*x

e^x

e^x


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