Lagrange Funktion - Methode

Die Lagrange Funktion - Methode benutzt man um Ableitungen von Funktionen mit Nebenbedingungen zu vollführen und deren Extremwerte zu ermitteln.


Die Lagrangefunktion setzt sich aus der Urfunktion (hier f(x1,x2)) und der Nebenbedingung λ(x1,x2).

λ stellt das Lambda dar, oder auch Lagrangemultiplikator.

Die Lagrangefunktion L(x1,x2,λ) sieht also wie folgt aus:

L=f(x1,x2)+ λg(x1,x2).


Der Vorteil von Lagrange / Lagrangefunktion

ist darin, dass der fiktive Punkt

x1E,x2E,λE in der L Funktion einen Extremwert darstellen,

die Punkte x1E und x2E in der Urfunktion unter Beachtung der Nebenbedingung die notwendige Bedingung darstellen.

Sprich man hat eine Kandidaten für einen möglichen Extremwert.


Ein Beispiel:

Gesucht werden die Extremwerte der Funktion y=f(x1,x2,x3)= 2x1²+2x2²+2x3²

unter der Bedingung das x1+x2=3 und x2-x3=3

Man bildet also zuerst die Lagrangefunktion

L(x1,x2,x3,λ1,λ2,λ3)= f(x1,x2,x3)+ λ1g1(x1,x2,x3)+λ2g2(x1,x2,x3)

Da die Funktion 2 Nebenbedingungen hat wird auch der λ 2x an die Urfunktion gehängt.

--> 2x1²+2x2²+2x3²+ λ1(3-x1-x2) +λ2(2-x2+x3)

Die λ1 und λ2 werden so dargestellt, dass diese immer 0 ergeben, daher ist eine Umformung der Nebenbedingung von notwendig.


Im Anschluss werden alle 5 Ableitungen gebildet.

1. Lx1= 4x1-λ1=0

2. Lx2=4x2-λ1-λ2=0

3. Lx3=4x3+λ2=0

4. Lλ1= 3-x1-x2=0

5. Lλ2=3-x2+x3=0


Aus 1. folgt das λ1=4x1

Aus 3. folgt das λ2=-4x3

Diese setzt man in 2. ein

--> 4x2-4x1-(-4x)    / 4

--> x2-x1+x2=0

Aus 4. folgt das x1= 3-x2

Aus 5. folgt das x3= -3+x2


Diese Folgerungen werden nun in die neue gebildet Ableitung

x2-x1+x2= 0 eingesetzt und ergeben

x2-(3-x2)+(-3+x2)=0

Nach x2 aufgelöst

--> x2=2

Nun erhält man durch einsetzen in die anderen Funktionen

x1=1 / x3=-1 / λ<=4 / λ2=4

Der Kandidat für einen eventuellen Extremwert ist also (1,2,-1)


Auf eine Berechnung der hinreichenden Bedingungen wird hier verzichten, da in der Wirtschaftswissenschaft oft aus dem Sachverhalt schon klar wird ob es sich um einen Extremwert handelt oder nicht.

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