Partielle Ableitung

Die partielle Ableitung benötigt man dann wenn man eine dreidimensionale Fläche beschreibt, bzw. versucht deren Steigung

zu beschreiben, da eine dreidimensionale Fläche nicht an jedem Punkt dieselbe Steigung hat

gestaltetet sich dies wesentlich schwieriger.

So ist die erste Ableitung nicht direkt die Steigung der Fläche im jeweiligen Punkt


Da ein dreidimensionaler Raum immer drei Koordinaten hat (Länge, Breite, Höhe) hat man auch drei Variablen

z;y;x  /     Funktion: z= f(x,y)

Eine partielle Ableitung besteht jedoch meisten aus mehreren verschiedenen Variable xn

Da man wie oben schon angedeutet normalerweise nahezu unendlich viele Punkte in einem 3D Raum hat muss man das Ganze einengen.

So wird meistens unterstellt das bis auf einen Faktor alle anderen Werte bekannt sind, bzw. bei der Ableitung wie

Konstanten behandelt werden.

Wichtig: Additive verschwinden und Muliplikative bleiben (nur der Wert der gesucht wird wird abgeleitet)

Siehe Beispiel 2


Weitersagen heißt unterstützen:

Bsp: z=x²+4y³

--> dz/ dx --> es wird nach x aufgelöst

z´= 2x

Nach y = z´= 12y²


Beispiel 2:

z=4x1²x2+x1 x2 x3 +x2 - x4

Löst man nach x1 auf -_> dz/dx1

So ergibt sich folgendes:

z´=8x1 x2 +x2 x3

Man sieht aus 4x1² wird klar 8x1 und aus x1 x2 x3 wird nur x2 x3,

da x1 aus x1 x2 x3 als konstanter Faktor abgeleitet wird aber Teil einer Multiplikative ist und somit der Rest bleibt


Wie bei jeder Funktion ist es auch hier am wichtigsten Extrempunkte berechnen und auswerten zu können.

Wie bei einer normalen Ableitung spricht man auch hier wieder von einer notwendigen

und hinreichenden Bedingung.

Demnach muss: z=f´x oder f´y  ( x,y) bei xo / yo = 0 sein

Und zwar alle 1.Ableitungen von f, sprich alle Darstellungen der Fläche für jede Variable

--> Zur Lösung dienen alle Methoden die auch der Lösung lin. Gleichungssystem dienen.

Hat man eine Kandidaten für die hinreichende Bedingungen gefunden setzt man diesen wie üblich in

f´´x (xo,yo) < 0  / f´´y (xo,yo) < 0 = Maximum

> 0 = Minimum


Praktische Anwendung findet die partielle Integration im Bereich der Langrange-Methode und deren Funktion und Ableitung

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