Substitutionsregel

Mit Hilfe der Substitutionsregel können viele Integrale gelöst werden.

Ziel ist es dabei die Variable durch eine andere Variable zu ersetzen (substituieren), so dass sich das anfangs kompliziert wirkende Integral mit normalem Methoden lösen lässt.

Die Substitutionsregel stellt die Umkehrung der Kettenregel dar.


Die meisten Integrale die mit Hilfe der Substitutionsmethode berechnet werden, gilt folgender Plan

Rot = Beispiel

Schwarz = Theorie

Es gilt folgendes Integral zu bestimmen:

ò(3x+4)² dx

1. Wahl einer geeigneten Substitutionsfunktion  y=f(x) /   y= 3x+4
2. Bildung von dy/dx nach x ableiten dy/dx= 3 I * dx

<-> dy = 3dx I : 3

<-> 1/3 dy= dx

3. Herleiten der zu ersetzende Funktion  

ò(3x+4)² dx

= ò y² 1/3 dy

 

4. Jetzt kann das Integral berechnet werden  

òy² 1/3dy= 1/3* òy² dy= 1/3*1/3 y³ +c = 1/9*y³+c

 

5. Wieder einsetzten der Urvariablen = 1/9 (3x+4)³ +c / y => x

Bei bestimmten Integrale, (Integralen mit Grenzen) wird erstmal wie oben verfahren und am Ende werden die Grenzen wieder eingesetzt, es wird also erstmal wie ein unbestimmtes Integral behandelt.

 

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